De 13 typer af matematiske funktioner (og deres egenskaber)

April 5, 2024

Matematik er en af de mest tekniske og objektive videnskabelige discipliner, der eksisterer. Det er hovedrammen, hvorfra andre videnskabelige grene kan foretage målinger og fungere med variablerne af de elementer, de studerer, på en sådan måde, at det ud over en disciplin i sig selv ved siden af logikken antages at være et af grundene for videnskabelig viden

Men inden for matematik studeres meget forskellige processer og egenskaber, idet der mellem dem er forholdet mellem to størrelser eller sammenknyttede domæner, hvor der opnås et konkret resultat takket være eller i funktion af værdien af et betonelement. Det handler om eksistensen af matematiske funktioner, som ikke altid har samme måde at påvirke eller relatere til hinanden.

Det er derfor vi kan tale om forskellige typer matematiske funktioner , som vi vil tale i hele denne artikel.

Relateret artikel: "14 matematiske gåder (og deres løsninger)"

Funktioner i matematik: hvad er de?

Før du fortsætter med at fastlægge de vigtigste typer matematiske funktioner, der findes, er det nyttigt at lave en kort introduktion for at gøre det klart, hvad vi taler om, når vi taler om funktioner.

Matematiske funktioner defineres som Det matematiske udtryk for forholdet mellem to variabler eller størrelser . De nævnte variabler er symboliseret fra de sidste bogstaver i alfabetet, X og Y, og henholdsvis modtager navnet på domænet og codomain.

Dette forhold udtrykkes på en sådan måde, at der eksisterer en ligestilling mellem begge analyserede komponenter, og generelt indebærer det, at for hver af værdierne af X er der et enkelt resultat af Y og omvendt (selv om der er klassifikationer af funktioner, der ikke overholder med dette krav).

Også denne funktion tillader oprettelse af en repræsentation i form af en grafik som igen tillader forudsigelse af adfærd af en af variablerne fra den anden, såvel som mulige grænser for dette forhold eller ændringer i adfærd af denne variabel.

Som det sker, når vi siger, at noget afhænger af eller er baseret på noget andet (for at give et eksempel, hvis vi mener, at vores karakter i matematisk test er en funktion af det antal timer vi studerer), når vi taler om en matematisk funktion vi indikerer, at opnåelse af en bestemt værdi afhænger af værdien af en anden tilknyttet den.

Faktisk er det foregående eksempel direkte eksprimeret i form af en matematisk funktion (selvom i den virkelige verden forholdet er meget mere komplekst, da det faktisk afhænger af flere faktorer og ikke kun på antallet af timer studeret).

Hovedtyper af matematiske funktioner

Her viser vi nogle af hovedtyperne af matematiske funktioner, klassificeret i forskellige grupper i henhold til deres adfærd og den type forhold, der er etableret mellem variablerne X og Y .

1. Algebraiske funktioner

De algebraiske funktioner forstås som sæt af typer af matematiske funktioner karakteriseret ved at etablere et forhold, hvis komponenter er enten monomier eller polynomier, og hvis forhold opnås gennem udførelse af relativt enkle matematiske operationer : subtraktion, multiplikation, division, potentiering eller etablering (anvendelse af rødder). Inden for denne kategori kan vi finde mange typer.

1.1. Eksplicit funktioner

Eksplicit funktioner forstås som de typer af matematiske funktioner, hvis forhold kan opnås direkte, blot ved at erstatte domænet x for den tilsvarende værdi. Med andre ord er det funktionen i hvilken direkte vi finder en udligning mellem værdien af og et matematisk forhold, hvori domænet x påvirker .

1.2. Implikt funktioner

I modsætning til i de foregående er i forhold til de implicitte funktioner ikke forholdet mellem domæne og codomain etableret direkte, hvilket er nødvendigt for at udføre forskellige transformationer og matematiske operationer for at finde vejen, hvor x og y er relateret.

1.3. Polynomiske funktioner

Polynomiske funktioner, der undertiden forstås som synonyme med algebraiske funktioner og andre som en underklasse af disse, integrerer sæt af typer af matematiske funktioner, hvor For at opnå forholdet mellem domæne og codomain er det nødvendigt at udføre flere operationer med polynomier af forskellig grad.

Lineære eller første klasse funktioner er nok den enkleste type funktion at løse og er blandt de første, der skal læres. I dem er der simpelthen et simpelt forhold, hvor en værdi af x vil generere en værdi på y, og dens grafiske repræsentation er en linje, der skal skære koordinataksen med et punkt. Den eneste variation er hældningen af linien og det punkt, hvor den skærer aksen, idet man altid opretholder den samme type forhold.

Indenfor dem kan vi finde identitetsfunktionerne, hvor der er en direkte identifikation mellem domæne og codomain på en sådan måde, at begge værdier altid er de samme (y = x), er de lineære funktioner (hvor vi kun observerer en variation af hældningen, y = mx) og de relaterede funktioner (hvor vi kan finde ændringer i afkrydsningspunktet for abscisse og hældning, y = mx + a).

De kvadratiske eller anden grad funktioner er dem, der introducerer et polynom, hvor en enkelt variabel har en ikke-lineær adfærd over tid (snarere i forhold til codomain). Fra en bestemt grænse har funktionen tendens til uendelig i en af akserne. Den grafiske repræsentation er etableret som en parabola, og matematisk udtrykt som y = ax2 + bx + c.

Konstante funktioner er dem, hvor et enkelt reelt tal er afgørende for forholdet mellem domæne og codomain . Det vil sige, at der ikke er nogen reel variation afhængig af værdien af begge: codomain vil altid være en konstant, der er ingen domænevariabel, der kan introducere ændringer. Simpelthen y = k.

Måske er du interesseret: "Dyscalculia: vanskeligheden ved at lære matematik"

1.4. Rationelle funktioner

Rationelle funktioner er det sæt af funktioner, hvor værdien af funktionen er etableret ud fra en kvotient mellem ikke-nulpolynomier. I disse funktioner vil domænet indeholde alle tal undtagen dem, der annullerer nævneren af divisionen, hvilket ikke ville tillade at opnå en værdi y.

I denne type funktioner vises kendte grænser som asymptoter , hvilket ville være netop de værdier, hvor der ikke ville være nogen domæne- eller codomain-værdi (dvs. når y og x er lig med 0). I disse grænser har de grafiske repræsentationer tendens til at være uendelig uden at røre ved grænserne. Et eksempel på denne type funktion: y = √ ax

1.5. Irrationelle eller radikale funktioner

De får navnet på irrationelle funktioner som sæt af funktioner, hvor en rationel funktion introduceres i en radikal eller rod (som ikke skal være firkantet, da det er muligt at det er kubisk eller med en anden eksponent).

At kunne løse det vi skal huske på, at eksistensen af denne rod pålægger visse begrænsninger , som det faktum, at værdierne af x altid skal føre til, at resultatet af roden er positiv og større end eller lig med nul.

1.6. Funktioner defineret af stykker

Denne type funktioner er dem, hvor værdien af y ændrer funktionens opførsel, der er to intervaller med en meget anderledes adfærd baseret på værdien af domænet. Der vil være en værdi, der ikke vil være en del af dette, hvilket vil være den værdi, som funktionen vil adskille sig fra.

2. Transcendente funktioner

Transcendentale funktioner er de matematiske repræsentationer af forhold mellem størrelser, der ikke kan opnås gennem algebraiske operationer, og for hvilke det er nødvendigt at udføre en kompleks beregningsproces for at opnå deres forhold . Det omfatter hovedsagelig de funktioner, der kræver brug af derivater, integraler, logaritmer eller som har en form for vækst, der vokser eller falder kontinuerligt.

2.1. Eksponentielle funktioner

Som angivet ved sit navn er eksponentielle funktioner sæt af funktioner, der etablerer et forhold mellem domæne og codomain, hvori et vækstforhold etableres på det eksponentielle niveau, det vil sige en stigende accelereret vækst. værdien af x er eksponenten, det vil sige den måde, hvorpå værdien af funktionen varierer og vokser over tid . Det enkleste eksempel: y = økse

2.2. Logfunktioner

Logaritmen af et hvilket som helst tal er den eksponent, som vil være nødvendigt for at hæve den anvendte base for at opnå det specifikke tal. Således er de logaritmiske funktioner de, hvori vi bruger som domæne det antal, der skal opnås med et specifikt grundlag. Dette er det modsatte og omvendte tilfælde af den eksponentielle funktion .

Værdien af x skal altid være større end nul og forskellig fra 1 (da en logaritme med base 1 er lig med nul). Væksten af funktionen falder, da værdien af x stiger. I dette tilfælde y = loga x

2.3. Trigonometriske funktioner

En type funktion, der etablerer det numeriske forhold mellem de forskellige elementer, der udgør en trekant eller en geometrisk figur, og specifikt de forhold der eksisterer mellem vinklerne i en figur. Inden for disse funktioner finder vi beregningen af sinus, cosinus, tangent, sekant, cotangent og cosecant før en bestemt værdi x.

En anden klassifikation

Det sæt af matematiske funktionstyper, der er forklaret ovenfor, tager i betragtning, at for hver værdi af domænet svarer en enkelt værdi af codomain'en (dvs. hver værdi af x vil medføre en bestemt værdi af y). Men selvom denne kendsgerning normalt betragtes som grundlæggende og grundlæggende, er det sikkert, at det er muligt at finde nogle typer af matematiske funktioner, hvor der kan være en vis divergens hvad angår korrespondancer mellem x og y . Specifikt kan vi finde følgende typer funktioner.

1. Injektionsfunktioner

Navnet på injektive funktioner er den type matematiske forhold mellem domæne og codomain, hvor hver af værdierne af codomain kun er knyttet til en værdi af domænet. Det vil sige, x vil kun være i stand til at have en enkelt værdi for en bestemt værdi, eller den kan have ingen værdi (det vil sige en bestemt værdi af x kan ikke være relateret til y).

2. Surjective funktioner

De overordnede funktioner er alle dem i hvilke hver eneste af elementerne eller værdierne af codomain (y) er relateret til mindst et af domænet (x) , selv om de kan være mere. Det behøver ikke nødvendigvis at være injiceret (for at kunne knytte flere værdier af x til den samme y).

3. Vedektive funktioner

Den type funktion, hvor både injektive og overordnede egenskaber er givet, er opkaldt som sådan. Jeg mener der er en enkelt værdi af x for hver og , og alle domæneværdier svarer til et af codomain.

4. Ikke-injektive og ikke-overordnede funktioner

Disse typer funktioner indikerer, at der er flere værdier af domænet til et bestemt codomain (det vil sige, at forskellige værdier af x vil give os det samme y) samtidig er andre værdier af y ikke knyttet til nogen værdi af x.

Bibliografiske referencer:

Eves, H. (1990). Grundlag og grundlæggende begreber i matematik (3 udgave). Dover.
Hazewinkel, M. ed. (2000). Matematikens Encyclopædi. Kluwer Academic Publishers.